不可约情形¶

内容来自冯承天著，《从一元一次方程到伽罗瓦理论》，华东师范大学出版社

不可约情形（Casus irreducibilis）可以回答一个至关重要的问题：我们为什么需要引入复数？

现象¶

具体来说，不可约情形指的是对于三次不可约多项式，如果它有三个不相等的实数根，那么这些根无法用实数的有限次加减乘除和开方运算得到，必须要使用复数！

例如： $$ \cos 20^o =\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}}\right) $$

对应的域扩张路径如下：

        Q
       / \
      /   \
 Q(zeta_3)  Q(cos(pi/9))
      \       /
       \     /
      Q(zeta_9)

这个现象是实数在代数上不完美的一种体现。

证明¶

定理如下：

Theorem

设$f(x) = x^3+px+q \in F(x)$, $F = \mathbb{Q}(p,q) \subseteq \mathbb{R}$，并且$f$在$F$上不可约，并且判别式 $$ D = \left[(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)\right]^2 = -4p^3 - 27q^2 \gt 0 $$ 也就是有三个不等的实根。那么不存在$F$上的一系列实数值根式来得出$f(x)$的求根公式。

证明过程使用反证法，假设方程的根可以用实数的有限次加减乘除和开方运算得到：

证明的核心是分裂域的性质：

Theorem

分裂域是基域的正规扩张。

而正规扩张的另外一个等价刻画是：

Theorem

对基域上任何一个不可约多项式，如果一个根在正规扩张域中，那么所有根都在。

最后更新: 2026-01-20 19:18:48
创建日期: 2026-01-20 19:18:48

不可约情形¶

现象¶

证明¶

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