Galois理论¶
内容来自姚慕生编著，《抽象代数学》，复旦大学出版社
众所周知，五次及更高次的一元方程不存在一般的求根公式。这个命题是由Galois发展的一系列抽象代数理论给出的，本文就摘录一下证明过程用到的一些定理。
Galois判据¶
下述定理直接给出了方程可以根式求解的充分必要条件：
Galois判别定理
多项式$f\in F[x]$可以根式求解，当且仅当其分裂域$E$对应的Galois群$G = \mathrm{Gal}(E/F)$是可解群。
这个定理主要涉及到三个概念。
分裂域¶
首先是多项式$f\in F[x]$的分裂域$E$，它的定义很简单，就是把多项式的所有根都塞到$F$中形成的扩域。
$$ E = F(x_1,x_2,\cdots,x_m) $$
或者根据它的名字，他就是让$f$能够完全分解为一次因式的最小扩张域。
Example
$f(x) = x^2-2$在$\mathbb{Q}$上的分裂域是： $$ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \mathrm{span}_{\mathbb{Q}}(1,\sqrt{2}) $$
Galois群¶
第二个重要的概念是Galois群，它的定义如下：
$$ G = \mathrm{Gal}(E/F) = \{ \sigma \in \mathrm{Aut}(E) \mid \sigma(x) = x \quad \forall x \in F \} $$
其中$\mathrm{Aut}(E)$代表$E$上所有自同构。Galois群描绘了方程的根之间的关系。设$E$是多项式$f$的分裂域，那么$G$中的元素一定是$f$的根的一个置换。
为什么？
其实很好理解，例如 $$ f(x) = x^2-2 $$ 这个多项式，假设$\sigma$是$G$的一个元素，$x_0$是一个根，那么： $$ \sigma(x_0^2-2) = \sigma(x_0)^2-2=0 $$ 这说明 $$ \sigma(x_0) $$ 依然是多项式的根。我们知道多项式的根是有限多的，从而$\sigma$是根之间的一个置换。
但并非任何一个置换都可以，它必须要是一个同构（保持域运算的双射）。
Example
$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) / \mathbb{Q})$是一个二阶循环群，只有一个非平凡的自同构： $$ \eta: a+b\sqrt{2} \to a-b\sqrt{2} $$ Galois群就是$\{ e, \eta\}$满足$\eta^2 = e$
上面这个群非常简单，和两个根的对称群同构。我们再看一个复杂一点的Galois群：
Example
多项式$f(x) = x^4-2$，它有四个根： $$ \sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}, -i\sqrt[4]{2} $$ 如果考虑根之间的置换，应该有$4!=24$个元素。但是并非所有的置换都满足同构条件，例如： $$ \sigma: \sqrt[4]{2}\to i\sqrt[4]{2}, -\sqrt[4]{2} \to -\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}\to \sqrt[4]{2}, -i\sqrt[4]{2} \to -i\sqrt[4]{2} $$ 相当于$-\sqrt[4]{2}$和$-i\sqrt[4]{2}$不动，交换另外两个根。这显然不是一个同构： $$ \sigma(\sqrt{2}) = \sigma(\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{2}) = (i\sqrt[4]{2})^2 = -\sqrt{2} $$ 然而 $$ \sigma(\sqrt{2}) = \sigma((i\sqrt[4]{2})(-i \sqrt[4]{2})) = \sqrt[4]{2} \times (-i\sqrt[4]{2}) = -i\sqrt{2} $$
矛盾！
结果计算，实际上Galois群同构与$D_4$，也就是正方形的对称群： $$ G = <\eta, \xi> = \{e, \eta, \eta^2, \eta^3, \xi, \xi\eta, \xi\eta^2, \xi\eta^3\} $$ 其中： $$ \eta(x) = i x, \xi(x) = \bar{x} \text{（复共轭）} $$ 分别是旋转90度和轴对称操作。
可解群¶
最后一个概念是可解群，这个概念比较复杂：
有限可解群的判别
有限群$G$是可解群，当且仅当存在一个正规群列：
$$ \{ e \} = G_0 \lhd G_1 \lhd G_2 \lhd \cdots \lhd G_r = G $$
其中商因子$G_i / G_{i-1}$都是素数阶循环群。
如何定义根式解¶
目前来看，Galois群的可解性和方程的可根式求解性没用半毛钱关系。
我们需要进一步申明，方程的可根式求解到底是什么意思。
根塔
多项式$f\in F[x]$可以根式求解的含义是，存在$F$的一个扩张$K/F$，满足：
$$ F = F_1 \subseteq F_2 \subseteq \cdots \subseteq F_{r+1} = K $$
其中 $$ F_{i+1} = F_i(d_i), \quad d_i^{n_i} \in F_i $$
并且$K$包含$f$的分裂域。
根塔的存在就意味着，多项式$f$的分裂域可以由$F$通过有限次的（添加某个元素的n次根的）域扩张得到，也就是说$f$的所有根可以通过系数的有限次加减乘除和开方运算得到。
有了根塔的定义，看起来方程根式求解和Galois群可解性更近了一步。中间还差了一步Galois对应！
Galois对应¶
下述定理给出了（子）群和（扩）域之间的关系：
Galois对应
设$E$是$F$的Galois扩域，$G = \mathrm{Gal}(E/F)$。再设： $$\Sigma = \{H \mid H\le G\}$$是所有$G$的子群的集合。 $$\Omega=\{K\mid F\subseteq K \subseteq E \}$$是E、F的中间域。 令： $$\phi: H\to \mathrm{Inv} H$$是一个从$\Sigma$到$\Omega$的映射（取子群的不动域） $$\psi: K\to \mathrm{Gal}(E/K)$$是一个从$\Omega$到$\Sigma$的映射（取中间域的Galois群）
那么：
- $\phi$和$\psi$是互逆的一一对应。也就是：$\psi(\phi(H)) = H, \phi(\psi(K)) = K$；
- $|H| = [E:\phi(H)]$， $[G:H] = [\phi(H):F]$
- $H$是$G$的正规子群，当且仅当$\mathrm{Inv} H$是$F$的正规扩域，此时还有$\mathrm{Gal}(\mathrm{Inv} H / F) \cong G/H$；
有了这个定理，Galois判据看起来就合理多了：
Galois群可解
==> 存在正规群列（且商群为素数阶循环群）
==> 存在（素数阶）正规扩域的序列
==> 每个域扩张都是根式扩张
==> 存在根塔
反之：
存在根塔
==> 存在一系列的正规扩域
==> 存在正规群列
==> Galois群可解
五次方程¶
有了Galois判据，我们再结合群论的结果：5阶及以上的对称群不可解。我们就可以理解五次方程不可解了。
直观上，五次方程有五个未知数：
$$ x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 = 0 $$
它的系数都是未知的，从而根之间也没有任何关系。五个没有任何关系的根，形成的Galois群自然就是5阶对称群。
Warning
我们这里说五次方程不可解，说的是一般系数的五次方程不存在求根公式。
如果系数给定，也有可能是可解的，五次方程的根也有可能可以写成根式。具体还是要看根之间的关系（Galois群）。
创建日期: 2026-01-15 22:19:28
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