Galois理论¶

内容来自姚慕生编著，《抽象代数学》，复旦大学出版社

众所周知，五次及更高次的一元方程不存在一般的求根公式。这个命题是由Galois发展的一系列抽象代数理论给出的，本文就摘录一下详细的证明过程。

Galois判据¶

下述定理直接给出了方程可以根式求解的充分必要条件：

这个定理主要涉及到三个概念。

分裂域¶

首先是多项式$f\in F[x]$的分裂域$E$，它的定义很简单，就是把多项式的根塞到$F$中形成的扩域。

$$ E = F(x_1,x_2,\cdots,x_m) $$

Galois群¶

第二个重要的概念是Galois群，它的定义如下：

$$ G = \mathrm{Gal}(E/F) = \{ \sigma \in \mathrm{Aut}(E) \mid \sigma(x) = x \quad \forall x \in F \} $$

其中$\mathrm{Aut}(E)$代表$E$上所有自同构。Galois群描绘了方程的根之间的关系。

可解群¶

最后一个概念是可解群，这个概念比较复杂：

设群$G$有一个正规群列：

$$ \{ e \} = G_0 \lhd G_1 \lhd G_2 \lhd \cdots \lhd G_r = G $$

其中商因子$G_i / G_{i-1}$都是Abel群，那么$G$称为可解群。

如何定义根式解¶

目前来看，Galois群的可解性和方程的可根式求解性没用半毛钱关系。

我们需要进一步申明，方程的可根式求解到底是什么意思。

根塔的存在就意味着，多项式$f$的分裂域可以由$F$通过有限次的（添加某个元素的n次根的）域扩张得到，也就是说$f$的所有根可以通过系数的有限次加减乘除和开方运算得到。

有了根塔的定义，看起来方程根式求解和Galois群可解性更近了一步。中间还差了一步Galois对应！

Galois对应¶

TBD