矩阵相似充要条件¶

矩阵相似关系是线性代数课程的核心内容之一，但是它的全系不变量实际上比较复杂，很难像矩阵合同关系那样给出简洁有效的判据（如下）。

因此，本文特意来梳理一下这个知识点！

人话：不变量是某种等价关系的必要条件，而全系不变量则是某种等价关系的充分必要条件。

我们之所以要找等价关系的全系不变量，是因为它可以帮助我们进行分类，例如（正负）惯性指数就是矩阵合同关系的一个全系不变量，从而通过区分惯性指数我们可以把矩阵分为若干类。

什么是相似矩阵¶

形式化的定义是：

这个定义比较表面（看不出“相似”的含义），更加深刻，也更加合理的提法是： $$ 同一线性变换在不同基底下的矩阵表示是相似的 $$

特别的，如果是两个可对角化矩阵相似，这就等价于它们的特征值一致。这是因为它们对应同一个线性变换。

这个提法告诉我们为什么矩阵相似如此重要。

矩阵分类方法¶

一般而言，只要有一个等价关系（这里是一般而言的等价关系，并非线性代数语境下的矩阵等价，因此为了不引起歧义我们不用矩阵等价，而用矩阵相抵这个说法），就有一种分类。

• 矩阵相抵：全系不变量是秩，这个关系下有相抵标准形
• 矩阵合同：全系不变量是惯性指数，这个关系下有合同标准形
• 矩阵相似：全系不变量比较复杂，这个关系下有Jordan标准形和Frobenius标准形

矩阵相似的充要条件¶

从$\lambda$矩阵出发¶

一般的： $$ A(\lambda)=\begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) &a_{12}(\lambda) \\ a_{21}(\lambda) &a_{22}(\lambda) \end{bmatrix} $$ 这样的多项式矩阵称为$\lambda$矩阵。

而形如$\lambda I-A$的矩阵称为$A$的$\lambda$矩阵，其中$\lambda$是一个未定元。

例如： $$ \begin{bmatrix} \lambda-1 &2\\ 0&\lambda-3 \end{bmatrix} $$ 下面这个定理给出了一个好用的结论

如此一来我们可以把矩阵相似问题归结为$\lambda$矩阵相抵的问题，而相抵又是一个比较容易处理的关系。

$\lambda$矩阵的法式¶

根据前面的定理只要找到$\lambda$矩阵的相抵关系的全系不变量，也就找到了矩阵相似的全系不变量。

类似于数量矩阵的相抵关系，我们在$\lambda$矩阵中也可以有相抵标准形（法式）：

例如： $$ A(\lambda)=\left(\begin{array}{ccc} \lambda & -1 & 1 \\ -3 & \lambda+2 & 0 \\ 1 & -1 & \lambda+1 \end{array}\right) $$ 可以通过一系列的初等变换化为相抵标准形： $$ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda-1)\left(\lambda^2+4 \lambda+2\right) \end{array}\right) $$ 那么 $$ \left\{1,1,(\lambda-1)(\lambda^2+4\lambda+2)\right\} $$ 就称为矩阵$A(\lambda)$的法式。

行列式因子组和不变因子组¶

我们再给出其他几个$\lambda$矩阵相抵关系的全系不变量：

• 行列式因子
  • 设 $A(\lambda) n$ 阶 $\lambda$-矩阵， $k$ 是不超过 $n$ 的正整数。如果 $A(\lambda)$ 的所有 $k$ 阶子式的最大公因子不 等于零，则称这个多项式为 $A(\lambda)$ 的 $k$ 阶行列式，记作 $D_k(\lambda)$
• 不变因子
  • 设 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的非零行列式因子为 $D_1(\lambda), D_2(\lambda), \ldots, D_m(\lambda)$ ，则必有 $D_i(\lambda) \mid D_{i+1}(\lambda)(i=1, \ldots, r-1)$ ，记 $d_i(\lambda)=D_i(\lambda) / D_{i-1}(\lambda)(i=1, \ldots, m)$ ，则 多项式 $\left\{d_1(\lambda), d_2(\lambda), \ldots, d_m(\lambda)\right\}$ 称为 $A(\lambda)$ 的不变因子。

利用这两个因子也可以来判定矩阵相似：

而通过不变因子组我们可以在矩阵所在的数域内构造矩阵的Frobenius标准形，或者叫有理标准形（之所以叫有理，大概就是因为在原有数域内构造出了标准形）。

初等因子组和准素因子组¶

更进一步，我们还有初等因子和准素因子的概念：

• 初等因子

  • 设 $n$ 阶 $A$ 的非常数不变因子为 $d_1(\lambda), d_2(\lambda), \ldots, d_k(\lambda)$ ，在数域上将分解为互不相同的首一的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂称为矩阵 $A$ 的初等因子。

• 准素因子

  设特征矩阵 $\lambda I-A$ 经过初等变换化为下列对角阵: $$ \left(\begin{array}{cccc} f_1(\lambda) & & & \\ & f_2(\lambda) & & \\ & & \ddots & \\ & & & f_n(\lambda) \end{array}\right), $$ 其中 $f_i(\lambda)(i=1, \cdots, n)$ 为非零首一多项式. 将 $f_i(\lambda)$ 作不可约分解, 若 $\left(\lambda-\lambda_0\right)^k$ 能整除 $f_i(\lambda)$, 但 $\left(\lambda-\lambda_0\right)^{k+1}$ 不能整除 $f_i(\lambda)$, 就称 $\left(\lambda-\lambda_0\right)^k$ 是 $f_i(\lambda)$ 的一个准素因子, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的初等因子组等于所有 $f_i(\lambda)$ 的准素因子的集合.

通过初等因子组我们可以在复数域内构造矩阵的Jordan标准形。

总结¶

这样看来，矩阵相似的全系不变量确实很复杂，我们通过引入$\lambda$矩阵解决了这个问题（整出了一堆多项式因子组）。

总而言之要记住：

• 矩阵相似等价于$\lambda$矩阵相抵，于是我们只需要找到$\lambda$矩阵相抵关系的全系不变量即可
• 法式（或相抵标准形）是$\lambda$矩阵的全系不变量
• 准素因子组、初等因子组、行列式因子组、不变因子组也都是$\lambda$矩阵的全系不变量
• 矩阵相似有两种标准形，可以用来判定相似关系：
  • Frobenius标准形（在任一域上）
  • Jordan标准形（在复数域或任一代数闭域上）

矩阵相似还有若干必要条件：

• 秩相等
• 特征值完全相同
• 迹相等
• 特征多项式相同