正态二次型独立条件¶

充分性显然成立，若$C_{ii}$ 可以被$P_{ii}$对角化，则有： $$ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} P_{11}^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss}^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & C_{ss} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss} \end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix} P_{11}^{-1}C_{11}P_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss}^{-1}C_{ss}P_{ss} \end{pmatrix}\\ =&\Lambda \end{aligned} $$ 记$Q$矩阵为： $$ Q=\begin{pmatrix} P_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss} \end{pmatrix} $$ 则$Q^{-1}CQ=\Lambda$，充分性证毕，下证必要性。

若$C$ 可对角化，则根据对角化理论，这等价于$C$ 有$n$（不妨设$C\in R^{n\times n}$）个线性无关的特征向量，不妨设为$x_i, \ i=1,2,\cdots,n$，而$C$ 有$s$个分块，不妨设每个分块的维度为$r_j,j=1,2,\cdots,s$，我们对$C$ 的每个特征向量也做同样的分块： $$ x_i=\begin{pmatrix} x_{1}^i\\ \vdots\\ x_{s}^i \end{pmatrix} $$ 于是，根据特征向量的定义： $$ \begin{aligned} &Cx_i=\lambda_ix_i\\ &\Rightarrow\begin{pmatrix} C_{11}x_{1}^i\\ \vdots\\ C_{ss}x_{s}^i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_ix_{1}^i\\ \vdots\\ \lambda_ix_{s}^i \end{pmatrix} \end{aligned} $$ 所以当$x_i^j\ne0$时，$x_i^j$ 是$C_{jj}$的特征向量。而$C_{jj}$ 的维度为$r_j$，所以$rank\{x_i^j\}\le r_j$，求和得到$\sum_{j=1}^s rank\{x_i^j\}\le n$。

另外一方面，$\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ x_j^i\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$是由$x_j^i$ 增加若干零元的来，于是$rank\{\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ x_j^i\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\}=rank\{x_i^j\}$，并且$x_i$可由$\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ x_j^i\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}$线性组合得到，于是 $$ \begin{aligned} &rank\{\begin{pmatrix} x_{1}^i\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\}+\cdots+\\ &rank\{\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ x_j^i\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\}+\cdots+\\ &rank\{\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ x_{s}^i \end{pmatrix} \}\ge rank\{x_i\} \end{aligned} $$ 也即是 $$ n\ge \sum_{j=1}^s rank\{x_i^j\}\ge rank\{x_i\}=n $$ 此不等式两边都取等号，所以$rank\{x_i^j\}=r_j$，每个维度为$r_j$ 的分块，都有$r_j$ 个线性无关的特征向量，所以每个分块都可以对角化，证毕。

如果$A$，$B$同时被$S$对角化了，那么显然有 $$ \begin{aligned} AB&=S\Lambda_1S^{-1}S\Lambda_2S^{-1}\\ &=S\Lambda_1\Lambda_2S^{-1}\\ &=S\Lambda_2\Lambda_1S^{-1}\\ &=S\Lambda_2S^{-1}S\Lambda_1S^{-1}\\ &=BA \end{aligned} $$ 证毕。

如果可对角化的矩阵$A$，$B$可换也就是 $$ AB=BA $$ 我们首先考虑$A$的对角化： $$ P^{-1}AP=\Lambda_1 $$ 并且记 $$ P^{-1}BP=C $$ 于是： $$ \begin{aligned} C\Lambda_1&=P^{-1}BPP^{-1}AP\\ &=P^{-1}BAP\\ &=P^{-1}ABP\\ &=P^{-1}APP^{-1}BP\\ &=\Lambda_1C\\ \end{aligned} $$ 也即$C$ 和 $\Lambda_1$可换，我们做如下分块： $$ C=\begin{pmatrix} C_{11}& \cdots & C_{1s}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{s1}& \cdots & C_{ss} \end{pmatrix} $$

$$ \Lambda_1=\begin{pmatrix} \lambda_1I_{r_1}& & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_sI_{r_s} \end{pmatrix} $$

其中$r_i$代表$A$的互异特征值$\lambda_i$的代数重数，等同于$\lambda_i$在对角阵中出现的次数，也就是分块对角阵中每个分块的维度；$I_{r_i}$代表 $r_i$阶的单位矩阵。我们可以选取合适的$P$（交换$P$ 的行可以实现），使得属于相同特征值的特征向量排列在一起，于是有了上述的分块矩阵形式，结合可换的性质有： $$ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} C_{11}& \cdots & C_{1s}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{s1}& \cdots & C_{ss} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1I_{r_1}& & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_sI_{r_s} \end{pmatrix}\\ &=\\ &\begin{pmatrix} \lambda_1I_{r_1}& & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_sI_{r_s} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{11}& \cdots & C_{1s}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{s1}& \cdots & C_{ss} \end{pmatrix} \end{aligned} $$ 考虑$(C\Lambda_1)[ij]$也就是上述分块矩阵乘积结果的$i$行$j$列的分块矩阵。等式左端为$\lambda_j C_{ij}$，等式右端为$\lambda_i C_{ij}$，于是得到： $$ \lambda_iC_{ij}=\lambda_jC_{ij} $$ 而当$i\ne j$时，$\lambda_i\ne\lambda_j$（它们本身就定义为$A$互不相同的特征值），进而$C_{ij}=0\quad(i\ne j)$。

所以$P^{-1}BP=C$为分块对角矩阵： $$ P^{-1}BP=\begin{pmatrix} C_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & C_{ss} \end{pmatrix} $$ 而已知$B$可对角化，进而与之相似的$P^{-1}BP$也是可对角化的，所以它的每个分块都可对角化。设$C_{ii}$的对角化矩阵为$P_{ii}$，则有： $$ \begin{aligned} &\begin{pmatrix} P_{11}^{-1}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss}^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & C_{ss} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss} \end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix} P_{11}^{-1}C_{11}P_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss}^{-1}C_{ss}P_{ss} \end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix} \Lambda_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & \Lambda_{ss} \end{pmatrix}\\ =&\Lambda_2 \end{aligned} $$ 记$Q$矩阵为： $$ Q=\begin{pmatrix} P_{11}& & \\ & \ddots & \\ & & P_{ss} \end{pmatrix} $$ 于是： $$ \begin{aligned} &Q^{-1}CQ\\ =&Q^{-1}P^{-1}BPQ\\ =&(PQ)^{-1}B(PQ)\\ =&\Lambda_2 \end{aligned} $$ 而Q作用于$\Lambda_1$上不改变其对角阵形式： $$ \begin{aligned} &Q^{-1}\Lambda_1Q\\ =&Q^{-1}P^{-1}APQ\\ =&(PQ)^{-1}A(PQ)\\ =&\Lambda_1 \end{aligned} $$ 可见$S=PQ$就是我们要找的可以同时对角化$A$，$B$ 的矩阵，证毕。