双曲函数¶

类比着来定义¶

双曲函数（Hyperbolic Functions），其中的双曲意为双曲线（Hyperbola），这个概念相对于圆函数（也就是我们熟知的三角函数）。

众所周知任意角的三角函数定义在一个单位圆之上，那么类似的双曲函数定义在一个单位等轴双曲线上。

或者换个视角来说，圆有三角函数形式的参数方程，而双曲线有双曲函数形式的参数方程。

单位圆的参数方程¶

$$ \begin{aligned} &x^2+y^2=1\ &\Rightarrow\ &\theta \in [0,2\pi]\ &x=\cos \theta\ &y=\sin \theta \end{aligned} $$

其中参数$\theta$ 称为圆角，它有很直观的几何定义：在弧度制下恰为旋转角的大小。

双曲线（右半支）的参数方程¶

$$ \begin{aligned} &x^2-y^2=1\quad (x>0)\ &\Rightarrow\ &\alpha \in [-\infty,+\infty]\ &x=\cosh \alpha\ &y=\sinh \alpha \end{aligned} $$

其中参数$\alpha$ 称为双曲角，注意到它的取值范围可以到正负无穷，它的量级定义为某个双曲扇形的面积（至于为什么这么定义就得去问约翰·海因里希·兰伯特了，后续我们会看到事实上这样定义出来的双曲函数非常工整）。

注：$\sinh$有的时候也写成$\mathrm{sh}$，其中的$h$都是源自双曲线的英文$\mathrm{Hyperbola}$

双曲角¶

下图黑色的曲线为$xy=1$，双曲扇形的三个顶点为$(x,1/x),(1,1),(0,0)$，那么很容易可以计算蓝色阴影区域的面积为$-\ln x$，也就是说图中的双曲角大小为$-\ln x$

注意，我们定义的双曲角是有正负的，当$x>1$的时候认为双曲角是负的，所以当$x>1$时双曲角大小仍然是$-\ln x$。

代数结果¶

我们更经常看见下面的结果 $$ \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ 接下来我们来证明在上述双曲角的定义下确实有这样的关系。

图中红色曲线为$x^2-y^2=1$，蓝色曲线为$x^2-y^2=2$，设$A=(t,\sqrt{t^2-1})$，可求$B=(\sqrt{2}t,\sqrt{2t^2-2})$。

那么蓝色阴影区域就是双曲$\angle AOC$ 的大小。

这是因为$x^2-y^2=2$逆时针旋转$\pi/4$之后恰好就是$xy=1$：

这样一来按照定义双曲角的大小就是 $$ \alpha = -\ln x_B $$ 其中$x_B$是旋转后图中B的横坐标，也就是原图中$\vec{OB}=(\sqrt{2}t,\sqrt{2t^2-2})$在$y=-x$上投影的长度，可以求得 $$ \alpha = - \ln [\frac{\sqrt 2}{2}(\sqrt2 t - \sqrt{2t^2-2})] $$ 也就是 $$ t-\sqrt{t^2-1}=e^{-\alpha} $$ 那么反解$t$得到 $$ t=\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}=\cosh \alpha $$ 至此我们就导出了常见的双曲函数形式。

参数方程的图示¶

注意到$x^2-y^2=1$可以由$x^2-y^2=2$横向、纵向分别压缩$\sqrt{2}$得到，也就是说图中红色区域的面积应该恰是双曲角大小的一半。

由此可以得出一个重要的面积公式： $$ \begin{aligned} &\int_1^{t} \sqrt{x^2-1} \ \mathrm{d}x\\ =& \frac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}-\frac{1}{2}\alpha \end{aligned} $$ 其中第一个等式中的$\alpha$ 就是$(t,\sqrt{t^2-1})$这一点的双曲角，后面我们会进一步求得具体的值。

双曲函数的性质¶

利用前面求得的代数结果，我们来推导一系列常见的双曲函数性质。

一堆函数¶

已经证明了

• 双曲余弦

$$ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$ 那么根据定义 $$ \cosh^2 x-\sinh^2x=1 $$ 可以求得。

• 双曲正弦 $$ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$ 类似三角函数，我们也定义

• 双曲正切 $$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $$

• 双曲余切（$x\ne0$） $$ \mathrm{coth}{x}=1/\tanh{x} $$
• 双曲正割 $$ \mathrm{sech} x = 1/\cosh x $$
• 双曲余割 $$ \mathrm{csch} x=1/\sinh x $$

初等性质¶

• 单调性

$\sinh x$在$R$上单调增

$\cosh x$在负半轴单调减，在正半轴单调增

$\tanh x$在$R/\{0\}$上单调增

• 奇偶性

显然$\cosh x$是偶函数，$\sinh x$是奇函数，$\tanh x$是奇函数。

• 和三角函数的联系

看到$e^x$我们不免想到欧拉公式，如果带入$\cosh ix$就有 $$ \begin{aligned} &\cosh ix \\ =&\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\\ =&\frac{1}{2}(\cos x+i\sin x+\cos x-i\sin x)\\ =&\cos x \end{aligned} $$ 可见双曲函数和三角函数在复平面上仅仅差一个正交旋转（逆时针$\pi/4$）。

类似的 $$ \sinh ix=i\sin(x) $$

$$ \tanh ix=i\tan x $$

• 双曲三角恒等式

$$ \cosh^2x-\sinh^2x=1 $$

根据代数形式，很容易验证

• 加法公式

$$ \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y $$

$$ \sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y $$

$$ \tanh (x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y} $$

• 倍角公式

$$ \cosh 2x=\cosh^2x+\sinh^2x $$

$$ \sinh 2x=2\sinh x\cosh x $$

• 半角公式

$$ \cosh^2x=\frac{\cosh x+1}{2} $$

$$ \sinh^2x = \frac{\cosh x-1}{2} $$

反函数¶

这部分我们来求反函数，也就是给定双曲函数值求双曲角的大小。

设 $$ x=\cosh y \ge 1 $$ 那么 $$ e^y+\frac{1}{e^y}-2x=0 $$ 可以反解$y$得到 $$ e^y={x\pm\sqrt{x^2-1}} $$ 舍去一根（因为$\cosh x$不是单调函数，我们取正半轴这一单调区间做反函数，为了使$x\to +\infty$时$y\to +\infty$），得到 $$ y=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) $$ 由此我们得到了

• 反双曲余弦（$x\ge 1$） $$ \cosh^{-1}x = \ln(x+\sqrt x^2-1) $$ 类似的，有

• 反双曲正弦 $$ \sinh^{-1}x=\ln(x+\sqrt x^2+1) $$

• 反双曲正切

$$ \tanh^{-1}x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) $$

• 面积公式

这时候我们就可以解决前面遗留的问题了 $$ \begin{aligned} &\int_1^{t} \sqrt{x^2-1} \ \mathrm{d}x\\ =& \frac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}-\frac{1}{2}\alpha\\ =&\frac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}-\frac{1}{2}\cosh^{-1}t\\ =&\frac{1}{2}t\sqrt{t^2-1}-\frac{1}{2}\ln(t+\sqrt{t^2-1}) \end{aligned} $$ 如果不从几何意义的角度来看，这个问题也可以使用三角换元/双曲换元来处理，都可以导出等价的结果。

求导¶

• 双曲函数的导数 $$ \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x $$ $$ \frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x $$ $$ \frac{d}{dx}\tanh x=\mathrm{sech}^2x $$
• 反双曲函数的导数 $$ \frac{d}{dx}\cosh^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} $$ $$ \frac{d}{dx}\sinh^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $$ $$ \frac{d}{dx}\tanh^{-1} x=\frac{1}{1-x^2} $$

积分¶

• 从上述三个导数，我们也可以看到几个重要的积分公式：

$$ \int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\cosh^{-1}x+C $$

$$ \int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\sinh^{-1}x+C $$

$$ \int\frac{1}{1-x^2}dx=\tanh^{-1}x+C $$

这三个公式和反三角函数那里的结论高度重合，实际上可以看作是一种复换元： $$ \begin{aligned} &\int\frac{1}{1-x^2}dx\\ (x=it)=&\int \frac{i}{1+t^2}dt\\ =&i\arctan t+C\\ =&i\arctan (-ix)+C \end{aligned} $$ 而我们知道 $$ \begin{aligned} &\tanh ix = i\tan x\\ \Rightarrow\quad&-i\tanh ix = \tan x\\ \Rightarrow\quad&\arctan (-i\tanh ix) = x\\ \Rightarrow\quad&\arctan(i\tanh x)=ix\\ \Rightarrow\quad&\arctan(ix)=i\tanh^{-1}x \end{aligned} $$ 也就是说 $$ \arctan (-ix)=-i\tanh^{-1} x $$ 回代得到 $$ \begin{aligned} &\int\frac{1}{1-x^2}dx\\ (x=it)=&\int \frac{i}{1+t^2}dt\\ =&i\arctan t+C\\ =&i\arctan (-ix)+C\\ =&\tanh^{-1}x+C \end{aligned} $$ 虽然看起来很麻烦，但是背后的思想很深刻。

• 双曲函数自身的积分 $$ \begin{aligned} &\int \sinh cx\mathrm{~d}x=\frac{1}{c} \cosh c x+C \\ &\int \cosh c x \mathrm{~d} x=\frac{1}{c} \sinh c x+C \\ &\int \tanh c x \mathrm{~d} x=\frac{1}{c} \ln(\cosh cx)+C \\ &\int \operatorname{coth} c x \mathrm{~d} x=\frac{1}{c} \ln|\sinh cx|+C \\ &\int \operatorname{sech} c x \mathrm{~d} x=\frac{1}{c} \arctan (\sinh c x)+C \\ &\int \operatorname{csch} c x \mathrm{~d} x=\frac{1}{c} \ln \left|\tanh \frac{c x}{2}\right|+C \end{aligned} $$

泰勒级数¶

• 常见

$$ \begin{aligned} &\sinh x=x+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}+\frac{x^{7}}{7 !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \\ &\cosh x=1+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !} \\ &\tanh x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{2 x^{5}}{15}-\frac{17 x^{7}}{315}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n}\left(2^{2 n}-1\right) B_{2 n} x^{2 n-1}}{(2 n) !},|x|<\frac{\pi}{2} \\ \end{aligned} $$ - 不常见

$$ \begin{aligned} \operatorname{coth} x&=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^{3}}{45}+\frac{2 x^{5}}{945}+\cdots\\ &=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n} B_{2 n} x^{2 n-1}}{(2 n) !}, 0<|x|<\pi\text { (洛朗级数) } \\ \operatorname{sech} x&=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{5 x^{4}}{24}-\frac{61 x^{6}}{720}+\cdots\\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_{2 n} x^{2 n}}{(2 n) !},|x|<\frac{\pi}{2} \\ \operatorname{csch} x&=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}+\frac{7 x^{3}}{360}-\frac{31 x^{5}}{15120}+\cdots\\ &=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\left(1-2^{2 n-1}\right) B_{2 n} x^{2 n-1}}{(2 n) !}, 0<|x|<\pi \text { (洛朗级数) } \end{aligned} $$ 其中洛朗级数是复分析的内容，$B_n$是伯努利数，$E_n$是欧拉数。

总结¶

双曲函数和三角函数一样也是非常使用的一类函数，尤其微积分运算中，作为三角换元的一个补充，双曲函数换元可以让我们处理更多的积分情况。

例如 $$ \int \sqrt{x^2-1} \ \mathrm{d}x\\ $$ 如果用常规的三角换元 $$ x=\csc \alpha $$ 处理起来就很麻烦。

更自然地是用双曲函数换元 $$ x=\cosh \theta $$ 那么就转化为 $$ \int \sinh^2 \theta \ d\theta $$ 进而使用二倍角公式等，可以很容易求得结果，过程列在下面 $$ \begin{aligned} &\int\sqrt{x^2-1}dx\\ =&\int \sinh^2\theta \ d\theta\\ =&\frac{1}{2}\int (\cosh 2\theta-1) \ d\theta\\ =&\frac{1}{4}\sinh 2\theta-\frac{1}{2}\theta+C \end{aligned} $$ 最后回代的时候注意 $$ \theta = \cosh^{-1}x $$ 一般人不知道这个，需要写成 $$ \theta=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) $$ 也就是 $$ \begin{aligned} &\int \sqrt{x^2-1} \ dx\\ =&\frac{x\sqrt{x^2-1}}{2}-\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2-1})+C \end{aligned} $$