旋转变换矩阵¶

矩阵¶

众所周知，二维空间的旋转变换（逆时针旋转$\theta$）可以用矩阵来表示： $$ \color{blue} \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix} $$ $(x,y)$旋转后的坐标$(x',y')$可以用矩阵乘法来计算： $$ \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix}= {\color{blue} \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix}} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x\cos\theta-y\sin\theta\\ x\sin\theta+y\cos\theta \end{bmatrix} $$

极坐标¶

如果你是高中生，那也没关系，我们可以用极坐标系的推导来给出这个公式：

假设 $$ (x,y) $$ 的极坐标表示是 $$ (\alpha, \rho) $$ 也就是说 $$ \begin{aligned} \rho \cos\alpha = x\\ \rho \sin\alpha = y \end{aligned} $$ 其中$\rho>0, \alpha\in[0,2\pi)$

那么逆时针旋转$\theta$之后极坐标变成： $$ (\alpha+\theta, \rho) $$ 那么新的坐标就是： $$ \begin{aligned} \rho \cos(\alpha+\theta) = x'\\ \rho \sin(\alpha+\theta) = y' \end{aligned} $$ 展开就得到: $$ \color{blue} \begin{aligned} x' = x\cos\theta-y\sin\theta\\ y' = x\sin\theta+y\cos\theta \end{aligned} $$

复数乘法¶

这已经很简单了，但我们可以通过复数的乘法更快地、更好记忆地给出这个公式。把$(x,y)$放到复平面得到： $$ x+y\mathrm{i} $$ 然后做乘法： $$ \begin{aligned} &(x+y\mathrm{i}){\color{blue}(\cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta)} \\ = &(x\cos\theta-y\sin\theta) + \mathrm{i} (x\sin\theta+y\cos\theta) \end{aligned} $$ 等式右侧的就是旋转之后的坐标。

还可以写成更炫酷的指数形式： $$ (x+y\mathrm{i}){\color{blue}e^{\mathrm{i}\theta}} = (x\cos\theta-y\sin\theta) + \mathrm{i} (x\sin\theta+y\cos\theta) $$

矩阵形式的复数¶

众所不那么周知，复数和特殊的矩阵可以建立一个一一对应的关系： $$ a+b\mathrm{i} \to \begin{bmatrix} a &-b\\ b &a \end{bmatrix} $$ 并且这个表示是保持运算的（加减乘除都是显然的）： $$ \color{blue}e^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i} \sin\theta $$ 对应 $$ \color{blue}\exp(\begin{bmatrix} 0 &-\theta\\ \theta &0 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix} $$ 这里的矩阵指数使用矩阵幂级数来定义：

$$ \exp(M) = \sum_{n=0}^\infty \frac{M^n}{n!} $$

对于 $$ M=\begin{bmatrix} 0 &-\theta\\ \theta &0 \end{bmatrix} $$ 这个矩阵，我们知道 $$ M^2 = \begin{bmatrix} -\theta^2 &0\\ 0 &-\theta^2 \end{bmatrix} = -\theta^2 I $$ 于是级数可以奇偶分开来计算： $$ \exp(M) = \sum_{n=0}^\infty \frac{M^n}{n!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{M^{2k}}{(2k)!} + \sum_{l=0}^\infty \frac{M^{2l+1}}{(2l+1)!} $$ 也就是： $$ \exp(M) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-\theta^2)^k}{(2k)!} I + \sum_{l=0}^\infty \frac{(-\theta^2)^l}{(2l+1)!} \begin{bmatrix} 0 &-\theta\\ \theta &0 \end{bmatrix} $$ 也就是: $$ \exp(M) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-\theta^2)^k}{(2k)!} I + \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l\theta^{2l+1}}{(2l+1)!} \begin{bmatrix} 0 &-1\\ 1 &0 \end{bmatrix} $$ 我们知道泰勒级数 $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-\theta^2)^k}{(2k)!} = \cos\theta $$ 和 $$ \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l\theta^{2l+1}}{(2l+1)!} = \sin\theta $$ 最终得到 $$ \exp(M) = \cos\theta \begin{bmatrix} 1 &0\\ 0 &1 \end{bmatrix}+ \sin\theta \begin{bmatrix} 0 &-1\\ 1 &0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix} $$

旋转的各种表示方法达成了意料之中的统一。