$\pi$的无理性¶

众所周知，$\pi$是无理数。那么到底为什么呢？如何证明？

看来这个问题还是比较困难，十八世纪微积分发展较为成熟了之后才有证明出现。

最早的证明¶

最早在1761年，约翰·海因里希·朗伯（Lambert）使用$\tan x$的连分数表示证明了$\pi$是无理数。

这个法子太难了，需要额外的连分数知识。

最短的证明¶

尼云（Niven）于1947年发表了一个简短的证明：

Niven, Ivan (1947), "A simple proof that π is irrational", Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53, no. 6, p. 509

假设： $$ \pi = \frac{a}{b} $$ 是有理数。

构造： $$ f(x) = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} $$ 以及 $$ F(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^kf^{(2k)}(x) $$

由于$f(x)$是次数为$2n$的多项式函数，所以： $$ F''(x) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f^{(2k)}(x) $$ 所以： $$ F''(x)+F(x)=f(x) $$

所以： $$ F''(x)\sin x+F(x)\sin x = f(x)\sin x $$ 而： $$ \frac{d}{dx} \left[ F'(x)\sin x-F(x)\cos x \right] = F''(x)\sin x+F(x)\sin x $$

所以： $$ f(x)\sin x = \frac{d}{dx} \left[ F'(x)\sin x-F(x)\cos x \right] $$

积分得到： $$ \int_0^\pi f(x)\sin x \mathrm{d}x =\left[ F'(x)\sin x-F(x)\cos x \right]\mid_0^\pi = F(0)+F(\pi) $$

考虑$f(x)$在$x=0$处的泰勒级数： $$ f(x) = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} = \sum_{k=0}^{2n} \frac{f^{k}(0)}{k!}x^k $$ 所以： $$ x^n(a-bx)^n = \sum_{k=0}^{2n} \frac{n!}{k!}f^{k}(0)x^k $$ 对比$x^k$的系数发现，对于$k\lt n$，左侧的系数都是0，所以： $$ f^{(k)}(0) = 0 \quad 0\le k\lt n $$

对于$k\ge n$，左侧的系数都是整数，所以： $$ \frac{n!}{k!}f^{(k)}(0)\in \mathbb{Z} \quad n\le k\le 2n $$ 综上，$f^{(k)}(0),\quad 0\le k \le 2n$全是整数。

而$f(x)=f(a/b-x)$是关于$\frac{\pi}{2}$对称的，所以$f^{(k)}(\pi),\quad 0\le k \le 2n$，也是全是整数。

那么$F(0)+F(\pi)$是整数。

显然，在$(0,\pi)$上：

$$ 0\lt f(x)=\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}\lt \frac{b^n \pi^{2n}}{n!4^n} \lt \frac{b^n \pi^{n}}{n!} = \frac{a^n}{n!} $$

所以： $$ 0 < \int_0^\pi f(x)\sin x \mathrm{d}x \le \int_0^\pi f(x) \mathrm{d}x \lt \frac{a^n}{n!}\pi \to 0 $$ $n$足够大时，有： $$ 0 < \int_0^\pi f(x)\sin x <1 $$ 所以： $$ 0 < F(0)+F(\pi) < 1 $$

这和$F(0)+F(\pi)$是整数矛盾。