一道极限题¶

题目¶

题目来自哔哩哔哩UP主@考研竞赛凯哥： $$ \lim_{x\to 0}\left\{1-\ln\left[\ln(x+e^{(1+x)^{1/x}})\right]\right\}/x $$ 有点复杂，但是泰勒展开可以一战。

我们只需要知道两个公式 $$ \begin{aligned} &\ln(1+x)\\ =&x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots\\ =&x+o(x) \end{aligned} $$ 和 $$ \begin{aligned} &e^x\\ =&1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\\ =&1+x+o(x) \end{aligned} $$ 和一些泰勒展开常用的技巧即可。

第一步¶

根据前面的公式 $$ \frac{\ln(1+x)}{x}=1-\frac{1}{2}x+o(x) $$ 那么带入指数函数有 $$ \begin{aligned} &\exp(\frac{\ln(1+x)}{x})\\ =&e^{1-\frac{1}{2}x+o(x)}\\ =&ee^{-\frac{1}{2}x}e^{o(x)}\\ =&e(1-\frac{1}{2}x+o(x))(1+o(x))\\ =&e-\frac{e}{2}x+o(x) \end{aligned} $$ 其中第二个等式把 $$ e^1 $$ 提取出来至关重要，这是泰勒展开常用的技巧。

最后一个等式是因为 $$ \begin{aligned} &(1-\frac{1}{2}x+o(x))(1+o(x))\\ =&(1-\frac{1}{2}x+o(x))\times1+\color{blue}{(1-\frac{1}{2}x+o(x))\times o(x)}\\ =&1-\frac{1}{2}x+o(x)+\color{blue}{o(x)}\\ =&1-\frac{1}{2}x+o(x) \end{aligned} $$ 这里的第二个等式用到了高阶无穷小的性质，任何一个多项式函数乘上去还是高阶无穷小 $$ p(x)\times o(x)=o(x) \quad \forall p(x)\in P(x) $$ 并且两个等价无穷小线性组合还是等价无穷小 $$ ao(x)+bo(x)=o(x) \quad \forall a,b\in R $$ 最终我们得到 $$ \begin{aligned} &(1+x)^{1/x}\\ =&\exp(\frac{\ln(1+x)}{x})\\ =&\color{red}{e-\frac{e}{2}x+o(x)} \end{aligned} $$

第二步¶

如法炮制，把上面这个式子再带入指数函数有 $$ \begin{aligned} &e^{(1+x)^{1/x}}\\ =&\exp(\color{green}{e-\frac{e}{2}x+o(x)})\\ =&e^ee^{-ex/2}e^{o(x)}\\ =&e^e(1-\frac{e}{2}x+o(x))(1+o(x))\\ =&e^e(1-\frac{e}{2}x)+o(x)\\ =&e^e-\frac{e^{e+1}}{2}x+o(x) \end{aligned} $$ 再加上一个$x$就是 $$ \begin{aligned} &x+e^{(1+x)^{1/x}}\\ =&\color{red}{e^e+(1-\frac{e^{e+1}}{2})x+o(x)} \end{aligned} $$

第三步¶

把上面这个式子再带入对数函数有 $$ \begin{aligned} &\ln(x+e^{(1+x)^{1/x}})\\ =&\ln(\color{green}{e^e+(1-\frac{e^{e+1}}{2})x+o(x)})\\ =&\ln e^e+\ln(1+(e^{-e}-\frac{e}{2})x+o(x))\\ =&\color{red}{e+(e^{-e}-\frac{e}{2})x+o(x)} \end{aligned} $$ 其中第二个等式把 $$ \ln(e^e) $$ 提取出来至关重要。

最后一个等式是由于我们前面提到的的公式 $$ \ln(1+x)=x+o(x) $$

第四步¶

如法炮制，再把上面一步的结果带入对数函数有 $$ \begin{aligned} &\ln\left\{\ln(x+e^{(1+x)^{1/x}})\right\}\\ =&\ln(\color{green}{e+(e^{-e}-\frac{e}{2})x+o(x)})\\ =&\ln e+\ln(1+(e^{-e-1}-\frac{1}{2})x+o(x))\\ =&1+(e^{-e-1}-\frac{1}{2})x+o(x) \end{aligned} $$ 于是 $$ \begin{aligned} &1-\ln\left[\ln(x+e^{(1+x)^{1/x}})\right]\\ =&\color{red}-(e^{-e-1}-\frac{1}{2})x+o(x) \end{aligned} $$

最后¶

回代最初的题目得到 $$ \begin{aligned} &\lim_{x\to0}\left\{1-\ln\left[\ln(x+e^{(1+x)^{1/x}})\right]\right\}/x\\ =&\lim_{x\to0}-(e^{-e-1}-\frac{1}{2})x/x+\lim_{x\to0}o(x)/x\\ =&\frac{1}{2}-e^{-e-1} \end{aligned} $$

总结¶

泰勒展开是一个非常强大的工具，从这题可见一斑。

如此复杂的一个函数 $$ 1-\ln\left[\ln(x+e^{(1+x)^{1/x}})\right] $$ 通过简单的、机械的、暴力的几个步骤就可以求得泰勒展开，进而解决一些问题，也难怪泰勒展开在计算机中广泛应用。

并且虽然上述过程看起来很复杂，实际上熟练了之后手算可以非常快，考试的时候也是一种实用的方法。